cos'è l'effetto farfalla?

Intervista al prof Vulpiani sulla fisica dei sistemi dinamici

Angelo Vulpiani è professore ordinario di Fisica Teorica all’Università La Sapienza di Roma. Studia principalmente i sistemi dinamici, la turbolenza, la meccanica statistica ed i sistemi disordinati. A lui Il Macaone ha chiesto di spiegarci meglio cosa sia l’effetto farfalla e perché sia importante studiarlo.

Facciamo subito un passo indietro: per “sistema”, intendiamo l’insieme di oggetti (particelle, atomi, pianeti, animali…) che lo scienziato vuole studiare. Parliamo poi di “sistema dinamico”, (un sistema che si modifica nel tempo) quando, oltre ad aver stabilito qual è l’insieme degli oggetti da studiare, si conoscono le regole (in genere date in forma di equazioni differenziali) in base alle quali il sistema cambia, il Prof. Vulpiani direbbe, in base al quale il sistema evolve nel tempo. Quando poi le particelle sono così tante che non è più possibile, né forse necessario, studiarle una ad una, parliamo di “meccanica statistica”. In questo caso spesso quello che interessa conoscere sono le caratteristiche complessive (dette in gergo macroscopiche) di tutto l’insieme di particelle…siete pronti?

Nel sito del prof. Vulpiani è riportata una frase di H. J. Poincarè, matematico e filosofo della scienza francese (1854- 1912), che sembra perfetta per introdurre e comprendere il lavoro che svolge il professore e per iniziare la nostra intervista: “La scienza è fatta di dati come una casa è fatta di pietre. Ma i dati non sono scienza più di quanto un mucchio di pietre sia una casa (H. J. Poincarè)”

In queste poche righe è racchiusa l’idea che non basta ammassare delle pietre per costruire una casa, è necessario seguire delle regole, un progetto, che indichi quante pietre occorrono e in che luogo, in che ordine e come esse debbano essere sistemate! Allo stesso modo, i dati scientifici devono essere raccolti, ordinati, elaborati e interpretati attraverso delle relazioni matematiche, o meglio teorie che permettono di comprendere come i diversi sistemi cambiano nel tempo. Proprio di questo si occupa il Prof. Vulpiani e quanti come lui passano il tempo a cercare, a capire e a risolvere (spesso con l’aiuto del computer) le equazioni matematiche, in base alle quali si evolvono i sistemi.

Iniziamo:

per colpa di un chiodo si perse lo zoccolo

per colpa di uno zoccolo si perse il cavallo

per colpa di un cavallo si perse il cavaliere

per colpa di un cavaliere si perse la battaglia

per colpa di una battaglia si perse il regno!

Questa filastrocca è spesso usata per descrivere cos’è il caos: un evento piccolo ed apparentemente insignificante, può avere conseguenze enormi!

La filastrocca è, almeno in parte, fuorviante per capire cosa sia il caos; se il cavallo non perde il chiodo, non è detto che succeda nulla di imprevedibile. Il caos invece è inevitabile, è contenuto nei sistemi stessi cioè dipende dalle regole che fanno evolvere il sistema nel tempo e dagli oggetti che lo costituiscono. Se la farfalla sbatte le ali poco prima o poco dopo, l’effetto imprevedibile c’è lo stesso.

E’ celebre la domanda: “Può il batter d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?” Da dove viene l’effetto farfalla? Cos’è il caos?

Cominciamo con il dire cosa non è il caos: prendiamo una sfera che si muove lungo una linea retta senza mai cambiare la sua velocità. Il moto della sfera è detto moto rettilineo uniforme. La regola che determina come la sfera si muove può essere scritta in forma matematica attraverso un’equazione che dice per ogni istante di tempo quale è la sua posizione e velocità. Questa legge permette di prevedere il futuro e di sapere in ogni momento dove si troverà la sfera se sai da dove, quando e con quale velocità è partita! Però, siccome la posizione iniziale tu la dovrai misurare, avrai delle piccole imprecisioni su quel numero; potrai dire che la sfera è partita (per esempio) ad un metro di distanza da me, con un errore di più o meno 5 millimetri. Questo errore, in questo caso, non comprometterà la tua capacità di prevedere dove sarà l’oggetto. Questo vuol dire che potrai predire la posizione della sfera in qualunque momento vorrai, sempre con la stessa incertezza (i 5 millimetri di cui parlavamo). Ecco, nei sistemi caotici, tu non riesci più a prevedere il futuro, perché quel piccolo errore iniziale si amplifica drammaticamente, diventa sempre più grande, e sempre più velocemente mano a mano che passa il tempo: si dice che l’incertezza aumenta nel tempo in maniera >a href=”http://www.ilmacaone.it/glossario-scienza/#esponenziale”>esponenziale. Se la farfalla batte le ali prima o dopo, qui o lì, ci troviamo tempo bello o uragano.

Puoi farmi un esempio di sistema caotico?

Ad esempio prendi un sistema meteorologico. Ci sono delle equazioni più o meno semplici, che descrivono perfettamente il fenomeno naturale, poi c’è la condizione iniziale, che si misura con gli strumenti, e quindi ha errori. Questi errori vengono amplificati esponenzialmente! Per questo fare le previsioni del tempo è difficile: il tempo che avremo a ferragosto, si può predire dal 10 agosto in poi, e neanche con certezza assoluta! Apparentemente sembra che gli astronomi siano molto più bravi dei meteorologi, perchè riescono a predire, ad esempio, le eclissi che ci saranno tra centinaia d’anni. Ma loro sono solo più fortunati perché i sistemi astronomici sono sì caotici, molto meno però dei sistemi meteorologici: il tempo di predicibilità di quei sistemi è dell’ordine di decine di migliaia se non milioni di anni, mentre per l’atmosfera è dell’ordine di qualche giorno.

Com’è nata la storia dell’effetto farfalla?

Edward Lorenz era un metereologo statunitense, e lavorava da tempo al perfezionamento dei modelli per descrivere l’atmosfera e quindi i cambiamenti climatici. Conosceva molto bene la matematica e tramite un insieme di complesse equazioni provò a migliorare il modello a cui stava lavorando e a simularlo al computer, cioè a far risolvere al computer le equazioni semplificate supponendo che in partenza l’atmosfera si trovasse in certe particolari condizioni (ad es. con una certa distribuzione di temperatura, certi venti e certe pressioni) cercando di semplificarlo il più possibile. Il giorno dopo, riprese la simulazione dal punto in cui era si era fermato, partendo dai risultati numerici ottenuti fino a quel momento per poter proseguire e scelse di approssimare i dati che descrivevano la condizione iniziale, quindi usò solo quattro cifre dopo la virgola invece delle otto che dava il computer (ad esempio invece di scrivere 0.93487652, scrisse 0.9349 che per il computer è 0.93490000). Vide allora dei risultati strani e quindi provò a ripartire da quel punto inserendo di nuovo tutte le 8 cifre dopo la virgola: ecco il patatrac! Lo stesso sistema, con due condizioni iniziali differenti dalla quarta cifra decimale in poi (quindi un valore abbastanza piccolo), evolvevano in modo totalmente diverso!

Il comportamento nello spazio delle fasi (cioè delle variabili in gioco) del sistema di Lorenz per l’atmosfera.

Quando siamo nel traffico oppure al mercato nel viavai della gente, delle macchine, delle grida, dei clacson possiamo dire che è un gran caos, oppure sarebbe meglio dire CHE CASINO ?

Si! sarebbe meglio parlare di casino! Per quei sistemi, le difficoltà nascono perché hanno molti gradi di libertà, cioè un gran numero di parametri, o variabili, indipendenti gli uni dagli altri che sono necessari per individuare e descrivere la configurazione dei nostri sistemi. Questi parametri a loro volta possono assumere diversi valori (partiamo da un es. semplice: il gioco della battaglia navale, i nostri sistemi sono le due flotte. Cosa ci serve per conoscere perfettamente le navi dell’avversario? (e poter vincere!) la posizione verticale e la posizione orizzontale: i nostri 2 gradi di libertà del sistema! entrambi possono avere 10 valori, quelli del grado di libertà orizzontale li chiamiamo A,B,C,…L quelli del grado di libertà verticale 1,2,3,… 10. Ora siamo in grado di descrivere con precisione il nostro sistema “flotta” usando insieme i valori particolari dei nostri parametri: B5 colpito!). Spesso il problema è molto più complicato e non è facile né capire quali sono le caratteristiche (i gradi di libertà) più adatte a descrivere il sistema (posizione? temperatura? pressione?…) né quali valori possono assumere tra gli infiniti possibili. Senza conoscere questo insieme di variabili non possiamo descrivere il sistema e tanto meno prevederne cambiamenti ed evoluzioni. Quando si parla di sistema che evolve, bisogna avere chiaro di cosa si parla. Ci sono grosso modo due classi di modelli: quelli della fisica, che nascono dai principi primi, ben definiti, ma chi dice qual è il modello giusto per descrivere ad esempio i sistemi biologici? Immaginiamo, ad es., i pesci di un acquario: ci sono quelli piccoli e quelli grossi, di colori diversi, in posizioni diverse e così via, se vogliamo descrivere e fare previsioni sul nostro acquario dobbiamo innanzi tutto decidere quali sono le caratteristiche fondamentali: è importante solo il numero di pesci piccoli e pesci grossi, oppure è importante anche dove stanno? Questo cambia tutto! Insomma qual è la cosa importante? Non si sa la risposta! o meglio, non sempre! dipende, come abbiamo visto, dal tipo di sistema che stiamo studiando. Un esempio concreto importante e molto difficile che interessa tutti noi è lo studio dei sistemi economici, quali sono le variabili importanti? Qualcuno lo sa? Credo di no.

Come si capisce quando un sistema è caotico? Supponiamo di osservare un sistema reale e non avere le equazioni, come faccio?

Sono dolori! Esiste la cosiddetta “maledizione esponenziale”, ovvero il numero di dati sperimentali che è necessario raccogliere per verificare se il sistema è caotico, cresce esponenzialmente con il numero di variabili indipendenti. Facciamo un esempio, e parliamo ancora di un sistema che descriva l’atmosfera. Supponiamo anche di non avere nessun modello meteorologico a disposizione. Decido che le variabili indipendenti da seguire sono cinque: temperatura, pressione, e le tre componenti della velocità del vento in un certo punto (la velocità è un vettore nello spazio tridimensionale in cui viviamo, posso dire di conoscere la velocità di un oggetto solo quando ne conosco le sue tre componenti, ndr.). Per prevedere il tempo domani, potrei pensare di fare così: cerco nel passato una situazione uguale ad oggi (valori identici per le cinque variabili indipendenti), guardo come si è evoluta il giorno dopo, e dico che domani sarà uguale a quel giorno. Semplice no? Ma vediamo cosa vuol dire trovare una situazione “uguale” ad oggi nel passato, come prima cosa devo stabilire quanto voglio essere “approssimativo”, quale errore voglio accettare, per esempio potrei accontentarmi di osservare valori nel passato diversi non più di 1/20 da quelli di oggi, e qual è la probabilità che io trovi cinque valori nel passato che rispettino questa condizione? 1/20 elevato alla quinta potenza! Mi servono cioè 3.200.000 dati per sperare di ottenere quello che voglio. Ce li ho? La risposta è un sonoro no! Nella realtà le variabili necessarie sono molto più di cinque, e quindi la situazione è anche peggio.

Perché è importante studiare i sistemi dinamici?

Perché adesso per esempio è chiaro che è inutile cercare di prevedere il tempo tra un mese, non si può fare! Poi è importante dal punto di vista concettuale, che magari è meno interessante per il grande pubblico, ma noi lavoriamo per cercare di capire in che mondo viviamo! Ci sono poi degli utilizzi pratici dei sistemi caotici. Tecniche di criptografia, problemi di sincronizzazione di strumentazioni di laboratorio. Poi, più che i sistemi caotici, l’approccio dei sistemi dinamici in generale viene molto utilizzato: ad esempio la decisione di quale debba essere la traiettoria di un razzo e quando accendere i motori per cambiare direzione viene presa grazie a questo tipo di studi, che fanno risparmiare fino al 95% di carburante! Un razzo va su con 5 invece che con 100 litri di carburante!!!

Sembra che sia quasi più importante porsi la domanda giusta che cercare le risposte…

In un certo senso è così. E per gran parte dei sistemi bisogna rinunciare alla predizione esatta, che non vuol dire rinunciare a tutto; per esempio gli astronomi non sono sicuri che da qui a 100 miliardi di anni non succeda niente, ma sono sicuri che da qui a 20 miliardi d’anni sicuramente Mercurio e Venere non s’incrocino e quindi non collidano. E` un risultato qualitativo, ma rigoroso!

Quando hai iniziato a studiare questi sistemi?

Da piccolo! Gianni Jona-Lasinio, il professore con cui mi sono laureato mi indirizzò verso un suo ex allievo, Giancarlo Benettin, che si occupava di sistemi dinamici. Avevo 23 anni, lui 29. Io non sapevo ne’ capivo molto di quelle cose. Mi ricordo che un giorno presi il treno, viaggiai di notte verso Parma per risparmiare sull’albergo, parlai con lui, rimontai sul treno alle 7 di sera e tornai a casa. All’epoca ero almeno formalmente un matematico, avevo una borsa di studio del comitato della matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR) e mi dicevano che dovevo fare i teoremi! Questo succedeva quando avevo 24/25 anni.